中点训练题10-2017xzt16
更新频率变慢了, 是因为符合高联难度的几何题已经发了不少了, 正在尝试着做点别的类行, 但是也要先独善其身嘛..所以自己在试着做点代数的题目, 希望能跟大家一起讨论代数相关的东西
顺便一提, 大家有没有什么好的代数资料(哭...)我一直在做可能再也不考的三元不等式...有的话欢迎后台留言交流~
题目标签: 共圆类- 角分线+中点+垂直- 2017xzt16
知识储备: 无
题目难度: 高联1-2
题目如下:
中的角分线为, 为中点, 分别以, 为直径作圆, 与, 分别交于点, ,
求证: 四点共圆.
内心训练题12-2019意大利/P5分析: 如果心细的同学应该能看出来本题与前不久发过的一道题目应该是同一个模型. 也就是意大利的一道题目, 没有做过的同学我把链接放在下面:
但是本次除了用做过题目的经验做法之外在给大家搞一种非经验类的证明方法, 我觉得这样才更符合现在出题的风格, 去套路化, 去经验化, 注重逻辑推理, 因此也推荐大家在做几何题目的时候, 尝试着除了依靠已有题型做突破口之外, 凭借对图形的理解来找到另外更加朴素的做法, 这样才能更锻炼自己的解题能力.
证法一:
先证明一个引理:
中, 为角分线, 为中点, 在上, 满足, 则.
引理的证明:
做于,
结合条件得,
故
注意到
故
故
故四点共圆,
故
回到原题:
由引理加同一法得到,
满足条件的, 有
故, 同理有,
故四点共圆证毕!
证法二:
分别为两圆圆心, 为边上垂足,
则共线(中位线), 且为两圆另一交点;
如图连线
有,
故为两圆的位似中心,
因此延长, 分别与圆交于,
则且过圆心,
则
故
结合四点共圆与
得四点共圆;
注意到为斜边中点
故
故,
同理
故四点共圆证毕!
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